单元系的相变
本文是《热力学与统计物理》第三章内容 三、单元系的相变 3.0 热动平衡的条件 3.1 热动平衡判据 3.2 开系的热力学基本方程 3.3 单元系的复相平衡条件 3.4 单元复相系的平衡性质 3.5 临界点和气液两相的转变 3.7 相变的分类 3.9 朗道连续相变理论 3.0 热动平衡的条件 弛豫机理: 分子之间的碰撞 分子与器壁之间的作用 3.1 热动平衡判据 热平衡的判据（热动平衡条件） （1）基本平衡判据 熵判据：孤立系统平衡态是熵最大的态。 相对于平衡态的虚变动后的态的熵变小。 孤立系统处在稳定平衡状态的必要充分条件: ΔS<0\Delta S < 0ΔS<0 变分展开式：ΔS=δS+12!δ2S+13!δ3S+⋯\Delta S=\delta S+\frac{1}{2!} \delta^2 S+\frac{1}{3!} \delta^3 S+\cdotsΔS=δS+2!1δ2S+3!1δ3S+⋯ 平衡条件：δS=0\delta S = 0δS=0 (是变分，不是微分)。 稳定平衡： δ2S<0\delta^2...
幂法计算矩阵的特征值与特征向量
本文介绍一种简单有效的计算矩阵特征值与特征向量的近似值的方法——幂法。 主要参考《数值计算方法与算法》，《数值方法：设计、分析和算法实现 》 一、幂法基本方法 在实际问题中, 矩阵的按模最大特征值往往起更重要的作用. 例如: 矩阵的谱半径即矩阵的按模最大特征值的值, 决定了迭代矩阵是否收敛。因此, 矩阵的按模最大的特征值比其余的特征值的地位更加重要. 幂法是计算矩阵按模最大特征值及相应的特征向量的数值方法. 简单地说，任取初始向量 X(0)X^{(0)}X(0) ，进行迭代计算 X(k+1)=AX(k)X^{(k+1)}=A X^{(k)} X(k+1)=AX(k) 得到迭代序列 {X(k)}\left\{X^{(k)}\right\}{X(k)}, 分析 X(k+1)X^{(k+1)}X(k+1) 与 X(k)X^{(k)}X(k) 之间的关系, 得到 AAA 的按模最大特征值及特征向量的近似解. 在幂法中, 假设矩阵 AAA 有特征值 λi,i=1,2,⋯ ,n\lambda_i, i=1,2, \cdots, nλi,i=1,2,⋯,n,...
连带拉盖尔方程的导出
一、由氢原子核外电子满足的薛定谔方程导出径向方程 氢原子核外电子满足的薛定谔方程（含时） iℏ∂Ψ(r,t)∂t=(−ℏ22μe∇2−e2r)Ψ(r,t)i \hbar \frac{\partial \Psi(\boldsymbol{r}, t)}{\partial t}=\left(-\frac{\hbar^2}{2 \mu_e} \nabla^2-\frac{e^2}{r}\right) \Psi(\boldsymbol{r}, t) iℏ∂t∂Ψ(r,t)=(−2μeℏ2∇2−re2)Ψ(r,t) 设 Ψ(r,t)=ψ(r)T(t)\Psi(\boldsymbol{r}, t)=\psi(\boldsymbol{r}) T(t)Ψ(r,t)=ψ(r)T(t), 代入上述方程,可得： (−ℏ22μe∇2−e2r)ψ(r)=Eψ(r)T′(t)+iℏET(t)=0\begin{aligned} & \left(-\frac{\hbar^2}{2 \mu_e} \nabla^2-\frac{e^2}{r}\right)...
均匀物质的热力学性质
本文是《热力学与统计物理》第二章内容 2.1 内能、焓、自由能和吉布斯函数 2.2 麦氏关系的简单应用 2.3 气体的节流过程和绝热膨胀过程 2.4 基本热力学函数的确定 2.5 特性函数 2.6 热辐射的热力学理论 2.7 磁介质的热力学 二、均匀物质的热力学性质 2.1 内能、焓、自由能和吉布斯函数 （1）数学定义 函数 f=f(x,y)f=f(x, y)f=f(x,y) 的全微分 df=∂f∂x∣ydx+∂f∂y∣xdy=(∂f∂x)ydx+(∂f∂y)xdyd f=\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_y d x+\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_x d y=\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y d x+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)_x d...
热力学的统计规律
临近期末，深知自己热统学的一坨，于是整理此笔记，顺便复习。 本系列全部内容基于汪志诚《热力学与统计物理》 本文是第一章内容 1.1 热力学系统的平衡状态及其描述 1.2 热平衡定律和温度 1.3 物态方程 1.4 功 1.5 热力学第一定律 1.6 热容量和焓 1.7 理想气体的内能 1.8 理想气体的绝热过程 1.9 理想气体的卡诺循环 1.10 热力学第二定律（过程的方向性） 1.11 卡诺定理 1.13 克劳修斯等式和不等式 1.14 熵和热力学基本方程 1.15 理想气体中的熵 1.16 热力学第二定律的数学表述 1.17 熵增加原理的简单应用 1.18 自由能和吉布斯函数 一、热力学的统计规律 1.1...
使用LAMMPS FIX PLUMED实现基于分子动力学的增强采样
增强采样与MetaD的基本原理 Metadynamics用于增强分子动力学模拟中的采样，并将自由能表面重构为几个选定自由度的函数，通常称为集体变量(CVs,Collective...
矢量分析公式推导逃课大法
本意是想试试 Markdown 和 LaTeX\LaTeXLATEX 语法，不小心就把整篇打完了（逃 一、爱因斯坦求和约定 为简化计算，下文所有含下标公式均采用爱因斯坦求和约定： 1.在同一项中，如果同一指标成对出现，就表示遍历其取值范围求和。这时求和符号可以省略。 2.成对出现的指标叫做哑指标，简称哑标。表示哑标的小写字母可以用另一对小写字母替换，只要其取值范围不变。 3.当两个求和式相乘时，两个求和式的哑标不能使用相同的小写字母。为了避免混乱，常用的办法是根据上一条规则，先将其中一个求和式的哑标改换成其它小写字母。 例如: aibi=∑iaibi=a1b1+a2b2+a3b3a_i b_i=\sum_i a_i b_i=a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3 aibi=i∑aibi=a1b1+a2b2+a3b3 二、Levi-Civita与Kronecker记号 先引入两个著名的记号 Kronecker记号: δij={1,i=j0,i≠j\delta_{i j}= \begin{cases}1 & ,i=j \\ 0 &...
